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Pregunta 8
Encontrar las expresiones para el radio de Strömgren Rs en función de la tasa de fotones ionizantes S* de la fuente y del coeficiente de recombinación alpha para el caso en que la densidad numérica n del medio ambiente está dada por:
n(r) = 0 ; rin
n(r) = n0 (Rin / r) ; r>= Rin
1 comentario:
== Formula ==
El radio de Stromgren es el radio característico de una región HII, producida por el [[equilibrio de fotorrecombinación]], para calcularlo sabemos que
4\pi J_{\nu}(r) = \pi I_{\nu}(r) = \pi I_{\nu}(R) \frac{R^2}{r^2} e^{-\tau_{\nu}}
donde \pi I_{\nu}(r) es el flujo de una fuente homogénea producida por un solo
hemisferio (e.d. el flujo que se observa de la fuente, ignorando el flujo producido por la parte de "atrás" del emisor) a una distancia r, I_{\nu}(R) es la energía producida a una distancia R, donde R es el Radio de la estrella y \tau_{\nu} es la profundidad óptica del medio.
Si observamos bien, la ecuación anterior nos dice que el promedio en energía a una distancia r es igual a la energía producida en la superficie de la fuente, multiplicada por el factor de decaimiento del flujo (R^2/r^2) y multiplicada por la absorción del gas.
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio
N_{H^o}\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{4\pi I_{\nu}(R)}{h\nu}\frac{R^2}{r^2} e^{-\tau_{\nu}}a_{\nu}(H^o)d\nu = N_eN_p\alpha_A(H,T)
desarrollando y tomando la aproximación on-spot (\alpha_B = \alpha_A - \alpha_1)
N_{H^o}R^2\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{4\pi I_{\nu}(R)}{h\nu}e^{-\tau_{\nu}}a_{\nu}(H^o)d\nu = r^2N_eN_p\alpha_B(H,T)
sabiendo que
\frac{d\tau_{\nu}}{dr} = N_{H^o}a_{\nu}(H^o)
entonces
d(-e^{-\tau_{\nu}}) = e^{-\tau_{nu}}d\tau_{\nu} = e^{-\tau_{nu}}N_{H^o}a_{\nu}(H^o)dr
Si sustituimos
R^2\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{4\pi I_{\nu}(R)}{h\nu}d(-e^{-\tau_{\nu}})d\nu = r^2N_eN_p\alpha_B(H,T)
integrando sobre r
R^2\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{4\pi I_{\nu}(R)}{h\nu}\int_0^{\infty}d(-e^{-\tau_{\nu}})drd\nu = \int_0^{\infty}r^2N_eN_p\alpha_B(H,T)dr
R^2\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{4\pi I_{\nu}(R)}{h\nu}d\nu (-e^{-\tau_{\nu}}|_0^{\infty}) = \int_0^{\infty}r^2N_eN_p\alpha_B(H,T)dr
Si suponemos que a una distancia r_1 todo se encuentra ionizado, entonces N_e = N_p = N_H y después de esa region Ne=0 entonces
R^2\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{4\pi I_{\nu}(R)}{h\nu}d\nu = \int_0^{r_1}N_eN_p\alpha_B(H,T)dr + \int_{r_1}^{\infty}N_eN_p\alpha_B(H,T)dr
R^2\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{4\pi I_{\nu}(R)}{h\nu}d\nu = \int_0^{r_1}N_H^2\alpha_B(H,T)dr
R^2\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{4\pi I_{\nu}(R)}{h\nu}d\nu = \frac{r_1^3}{3}N_H^2\alpha_B(H,T)
Como
L_{\nu} = 4\pi R^2\pi I_{\nu}(R)
\int_{\nu_o}^{\infty}\frac{L_{\nu}}{h\nu}d\nu = \frac{4\pi r_1^3}{3}N_H^2\alpha_B(H,T)
sustituyendo
Q_{\nu} = \int_{\nu_o}^{\infty}\frac{L_{\nu}}{h\nu}d\nu
llegamos
Q_{\nu} = \frac{4\pi r_1^3}{3}N_H^2\alpha_B(H,T)
donde r_1 es el radio de Stromgren para una región solo de Hidrógeno.
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